Buemmings Vater war Kaufmann, seine Mutter eine Tochter des Pfungstädter praktischen Arztes Dr. Karl Weis. Im Jahr 1898, also in jungen Jahren, kam Carl Buemming nach Darmstadt, besuchte das Ludwig-Georgs-Gymnasium und absolvierte bei der Buchhandlung Schlapp eine Ausbildung als Verlagsbuchhändler. 1922 wurde er dort Teilhaber und leitete im Wesentlichen das Antiquariat.
1933 machte er sich selbständig. Die Darmstädter Adressbücher von 1933 bis 1937 verzeichneten ihn als Buchhändler und Antiquar in der Wilhelminenstraße 43, die Adressbücher von 1940 bis 1942 mit Sitz in der Riedeselstraße 2. In dieser Zeit lebte er zeitweise auch im Ausland.
In der NS-Zeit war der Antiquar und Buchhändler geschäftlich stark engagiert. So heißt es bei Iselt: "Er verkehrte mit hohen Vertretern des nationalsozialistischen Regimes wie Hans Heinrich Lamers und Martin Bormann und durfte sich derer Unterstützung sicher sein". Er war eine große Nummer beim Handel mit Raubkunst, also von Kunstgegenständen, die aus dem Besitz jüdischer Menschen und den eroberten Gebieten Europas stammten.
Das Darmstädter Echo berichtete, dass nach ihren Recherchen Buemming "von 1933 bis 1945 erfolgreich mit Raubkunst" gehandelt habe. Er "gehörte zu den kleinen, aber in ihrem kriminellen Bereich sehr effizienten Gruppe deutscher Kunsthändler, die mit den Nazis zusammenarbeiteten. Er wird in der Literatur sogar als eine "Schlüsselfigur" des Verkaufs von Raubkunst in die damals neutrale Schweiz hinein sowie aus der Schweiz heraus bezeichnet".
Aus den Ankauflisten der Stadt Darmstadt geht hervor, dass Buemming unter dem 15. November 1938 dem Oberbürgermeister Wamboldt Kunstwerke angeboten hat und sein Schreiben mit "Heil Hitler" schloss.
In der Zeitschrift "Weltkunst" vom 13. April 1941 schaltete er eine Werbeanzeige "Ankauf - Verkauf - Handzeichnungen und Grafik, Seltene Bücher, Gemälde erster Meister" mit seiner Darmstädter Adresse Riedeselstraße 2.
Im Darmstädter Echo vom 1. August 2014 heißt es: "Sicher ist dazu, dass Darmstadt ein Umschlagplatz für "Raubkunst" war. Beispielsweise agierte hier der Kunsthändler und Archivar Carl W. Bümming, der Werke, die in Deutschland von den Nazis konfisziert worden waren, zu Auktionen in die Schweiz brachte."
Aus einem Artikel des Darmstädter Tagblatts, verfasst von M. Dierks, ging hervor, dass Buemming am 11. September 1944, der Darmstädter Brandnacht, seine "eigene reiche Sammlung, Handbücherei und sein gesamtes Lager" verloren haben. Nach der Brandnacht bis zum 17. September 1948 hatte er seinen Wohnsitz nach Erbach/Odenwald verlegt.
1949 ging er noch mal in die Vereinigten Staaten und kehrte 1952 nach Darmstadt zurück.
Buemming war nach wie vor US-amerikanischer Staatsbürger, denn in einer Meldekartei ist vermerkt, dass er und seine "Frau Johanna Karolina Hedwig Buemmung, geb. Sigmund, durch Urkunde des Herrn Regierungspräsidenten in Darmstadt vom 25.1.1952" eingebürgert worden seien.
Nach dem Krieg verzeichneten die Adressbücher seine Wohnung/Geschäft in der Liebigstraße 2.
Er wurde am 5. September 1963 auf dem Alten Friedhof in Darmstadtbestattet. In einem Artikel des Darmstädter Tagblatts wurde hervorgehoben, dass die Stadt Darmstadt Dank seiner Vermittlung zahlreiche wertvolle Kunstschätze und historisch wichtige Beiträge zur Stadtgeschichte erwerben konnte.