Der aus einer Bildhauerfamilie stammende Böhrs schloss sich am 1. Mai 1933 der NSDAP und weiteren, auch nationalsozialistischen Organisationen wie der Deutschen Arbeitsfront, der Nationalsozialistischen Volkswohlfahrt, des NS-Bundes Deutscher Technik und des Deutschen Roten Kreuzes an.

Er studierte an der Ingenieurschule Hamburg und war danach bei den Continental-Gummiwerken und später bei Voigtländer, dort zuletzt ab 1941 als stellvertretendes Vorstandsmitglied, tätig.

1941 legte er an der Technischen Hochschule Braunschweig seine Dissertation über "Untersuchungen über die Grundlagen der Arbeitsorganisation - Richtlinien für das Organisieren und Gestalten menschlicher Arbeit im Fabrikbetrieb mit besonderer Berücksichtigung der psychologischen Zusammenhänge" vor.

Nach 1945 behauptete er, sich bereits kurz nach seinem Eintritt in die NSDAP innerlich von ihr abgewandt zu haben. Dies sei, so heißt es in einer Veröffentlichung der Technischen Universität Hannover, nachweislich falsch. Er habe in vielen seiner fachbezogenen Veröffentlichungen bis 1944 Propaganda im Sinne des Nationalsozialismus betrieben. So habe er zum Beispiel behauptet, das "Gerechtigkeitsempfinden sei an Blut und Rasse gebunden". Auf die Inhalte dieser Veröffentlichungen habe er im Zusammenhang mit seinem Entnazifizierungsverfahren mit keinem Wort verwiesen.

Von 1952 bis 1956 lehrte er als Lehrbeauftragter an der Technischen Hochschule in Darmstadt.

Anschließend erhielt er einen Ruf als außerordentlicher Professor an die Universität St. Gallen und blieb dort bis zu seinem Ruf auf den Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre an der Technischen Hochschule Hannover 1960.

Von 1970 bis 1971 war Böhrs Rektor der Technischen Universität Hannover. 1973 wurde er emeritiert.