Nach dem Abitur studierte Jayme von 1919 bis 1921 Chemie-Ingenieurwissenschaften an der Technischen Hochschule (heute: Technische Universität) Darmstadt und legte im Juni 1921 seine Diplom-Prüfung ab. Er war Assistent am Institut für Zellulosechemie und von 1923 bis 1926 Forschungschemiker bei den Vereinigten Glanzstoff-Fabriken AG, Teltow-Seehof. Auf der Homepage des Museums [6] wird berichtet, dass in diesem Werk am 1. Juli 1921 die Forschungs- und Patentzentrale der Vereinigten Glanzstoff-Fabriken AG mit ihrer Arbeit begann. Der Schwerpunkt sei dabei die Chemiefaserforschung mit dem Hauptgebiet der Viskosefaser gewesen, die besonders während des Zweiten Weltkrieges wegen des Mangels an natürlichen Fasern ein wichtiger Produktionszweig gewesen sei.

Seine Dissertation vom 9. Juli 1925 hatte das Thema "Über die Darstellung der Thioindigoderivate einiger heterocyclischer Amine".

Nach einer zehnjährigen Tätigkeit für die Canadian International Paper Company Hawkesbury/Ontario kehrte Jayme 1936 nach Darmstadt zurück, erhielt im selben Jahr eine außerordentliche Professur und 1937 eine ordentliche Professur für Zellulosechemie an der Technischen Hochschule in Darmstadt.

Von 1939 bis 1942 war er Dekan im Bereich der Chemischen Fakultät.

Am 1. April 1940 wurde er Mitglied der NSDAP (Mitgliedsnummer 8 006 596) in der Darmstädter Ortsgruppe Steinberg. Im Entnazifizierungsverfahren wurde er zunächst als Mitläufer und in der nächsten Instanz als Entlasteter eingestuft.

1947 war er für zwei Monate Gast der englischen Regierung und 1948 für acht Monate Gast der australischen Regierung.

Jayme nahm seine Lehrtätigkeit 1948 wieder auf und wurde am 30. September 1967 emeritiert.

Jayme wohnte 1937 im Roquetteweg 10, ab 1941 und nach dem Krieg Am Weidenborn 7 in Darmstadt.