Am Gymnasium in Meißen legte er 1914 das Abitur ab und nahm danach am Ersten Weltkrieg teil.
Vieweg studierte ab 1918 Physik und Mathematik an den Technischen Hochschulen Berlin und Dresden.
Er legte 1923 an der Technischen Hochschule Dresden seine Dissertation zum Thema "Über Kontaktpotentialdifferenzen zwischen im Vakuum geglühten Metallen" vor.
Ab 1923 arbeitete er an der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlin-Charlottenburg.
1935 wurde er als Professor für Technische Physik an die Technische Hochschule Darmstadt berufen. Nach seiner Berufung nach Darmstadt wohnte er im Dachsbergweg 6.
Von 1939 bis 1941 war er Dekan der Abteilungen Mathematik und Naturwissenschaft sowie Kultur- und Staatswissenschaft der Technischen Hochschule Darmstadt und 1941 Dekan der Fakultät I Naturwissenschaften und Ergänzungsfächer und der Abteilung 1 Mathematik und Physik.
Nach dem Krieg war er von 1946 bis 1947 Rektor der Technischen Hochschule Darmstadt.
Vieweg war weder Mitglied der NSDAP, noch der SA oder der SS. Aber er engagierte sich stark an der Kriegsforschung und war intensiv an den Forschungen zur V 2 beteiligt. Raketenforscher Wernher von Braun versuchte nach 1945 unter anderem auch Vieweg für die Forschungen in den USA zu engagieren, was dieser jedoch ablehnte.
Vieweg wurde 1951 Präsident der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig, wo er 1961 in den Ruhestand trat und danach nach Darmstadt zurück kehrte.
Die Technische Hochschule Darmstadt verlieh ihm 1956 die Ehrendoktorwürde, die Stadt Darmstadt 1957 die Silberne Verdienstplakette.