Nach dem Abitur am humanistischen Gymnasium in Mönchengladbach studierte Busch in Straßburg (1904-1905), Berlin (1905-1906) und Göttingen (1907-1911) Physik, promovierte zum Dr. phil. 1911 und habilitierte 1920 ebenfalls in Göttingen.
Von 1907 bis 1913 war er in Göttingen Assistent am Institut für angewandte Elektrotechnik, von 1913 bis 1915 Schriftleiter der Physikalischen Zeitschrift. Von 1913 bis 1920 war Busch wissenschaftlicher Hilfsarbeiter an der "Radiotechnischen Versuchsanstalt für Marine und Heer" in Göttingen. Im Reichshandbuch dagegen heißt es "Während des Krieges stand B. von 1914 bis 1916 als Artillerieoffizier an der Front und war 1917/18 bei der 'Technischen Abteilung für Funkgerät'" in Berlin.
Es schloss sich einer Privatdozentur für Physik in Göttingen an. 1921 wurde er Privatdozent an der Universität Jena und ein Jahr später außerordentlicher Professor.
1929 übernahm er eine Professur in Berlin und wurde 1930 mit Unterstützung von Waldemar Petersen und der Industrie an die Technische Hochschule Darmstadt als ordentlicher Professor für Elektrotechnik berufen, von 1933 bis 1934 war er deren Rektor und von 1937 bis 1939 und 1944 bis 1947 Dekan der Abteilung/Fakultät Elektrotechnik.
Politisch gehörte Busch 1925/26 der Deutschnationalen Volkspartei an. Der NSDAP schloss sich Busch nicht an. Nach seiner Wahl zum Rektor unterstützte er zunächst die Hochschul-SA und wurde 1933 förderndes Mitglied der SS und blieb dies bis 1939. Auch war er Mitglied des NS-Dozentenbundes. Busch war, wie sieben weitere Professoren, an der kriegswichtigen Entwicklung der V2-Rakete in Peenemünde beteiligt.
1942 wurde er mit dem Kriegsverdienstkreuz II. Klasse ausgezeichnet.
Wegen seiner NS-Belastung wurde Busch Ende Juni/Anfang Juli 1946 entlassen. Nach einigen damals allgemein üblichen Persilscheinen, sogar der ASTA der TH setzte sich für Busch ein, widersprach Busch dem Spruchkammerbescheid (Mitläufer und 1.000 Reichsmark Sühne) und erreichte, dass er "als nicht vom Gesetz betroffen" eingestuft wurde (siehe Entnazifizierung).
Das von Ernst Neufert in der Merckstraße 23 (Ecke Landgraf-Georg-Straße) zwischen 1969 und 1973 errichtete Gebäude des Fachbereichs Elektrotechnik wurde zu seinen Ehren noch zu seinen Lebzeiten "Hans Busch-Institut" benannt (siehe Abbildung).
Busch wurde vielfach geehrt und ausgezeichnet. So war er von 1954 bis 1956 der erste Vorsitzende der damals gegründeten Nachrichtentechnischen Gesellschaft im VDE. Der VDE verlieh ihm 1958 den ersten goldenen Ehrenring. 1950 wurde er Dr.-Ing. E. h. der Technischen Hochschule Karlsruhe und 1958 Dr. phil. h. c. der Universität Kiel. Seine NS-Vergangenheit störte die DDR offenbar nicht, denn 1954 wurde ihm von der Universität Jena die Würde des Dr. rer. nat. h. c. verliehen. Die Philipp-Reis-Plakette der Deutschen Bundespost wurde ihm 1964 verliehen.
Das Reichshandbuch von 1931 gibt als Adresse Buschs die Martinstraße 37 an, die Adressbücher von 1939 bis 1960/61 die Fichtestraße 30.