Um 1900 begann Kleukens eine Ausbildung zum Setzer und Drucker in Berlin und wurde 1902 zum Militärdienst einberufen. Um 1900 schloss er sich dem sozialdemokratischen Wahlverein in Bremen an.
Ab 1903 setzte seine schriftstellerische Tätigkeit ein. 1904 begann er ein Studium an der Königlichen Akademie für graphische Künste und Buchgewerbe in Leipzig. Nun wurde er auch Mitglied der Sozialdemokratischen Partei.
1907 wurde sein Bruder Friedrich Wilhelm Kleukens künstlerischer Leiter der von Großherzog Ernst Ludwig gegründeten ersten deutschen fürstlichen Privatpresse "Ernst Ludwig-Presse" und er dessen Drucker und künstlerischer Berater. Die Werkstätte war im heutigen Ernst-Ludwig-Haus (Museum Künstlerkolonie) eingerichtet. Von 1914 bis 1917 war er Leiter der (im Krieg eingestellten) Ernst Ludwig-Presse.
1913/1914 wurde Kleukens zum Mitglied der Darmstädter Künstlerkolonie ernannt. Am Ersten Weltkrieg nahm Kleukens von 1914 bis 1918 an der Westfront teil.
1926 wurde ihm der Georg-Büchner-Preis verliehen.
Von 1927 bis 1945 war er Leiter der "Mainzer Presse" des Gutenberg-Museums in Mainz und hatte von 1929 bis 1948 eine Professur an der Mainzer Staatsschule für Kunst und Handwerk.
Zwischenzeitlich hatte er sich wohl politisch von der Sozialdemokratie abgewandt, denn er schloss sich 1932/33 der Deutschnationalen Volkspartei (DNVP) an und wurde gar 1933 Mitglied des Stahlhelms und 1934 der SA. Auch hatte er keine Scheu, sich im nationalsozialistischen "Kampfbund für deutsche Kultur" zu engagieren.
1935 wurde er Mitglied der "Reichskammer der bildenden Künste", veröffentlichte Beiträge in der Zeitung "Der SA-Mann. Kampfblatt der Obersten SA-Führung der NSDAP" und wurde schließlich nach Aufhebung der Eintrittssperre am 1. Mai 1937 Mitglied der NSDAP. Auch in der SA stieg er auf, 1942 zum SA-Sturmführer und 1943 zum SA-Obersturmführer.
1937 wurden auf der Pariser Weltausstellung die Ernst Ludwig-Presse, die Kleukens-Presse und die Mainzer-Presse mit je einer Goldmedaille ausgezeichnet.
1940 ehrte ihn die Stadt Mainz mit der Gutenbergmedaille, dem Kulturpreis der Stadt.
Zu Ehren des Künstlers wurde an der Bundesstraße 449 gegenüber dem Gasthaus "Trautheim" (heute "Villa Trautheim") eine Eiche gepflanzt. Auch die Stadt Darmstadt ließ es sich nicht entgehen, diesen "großen" Sohn ihrer Stadt zu ehren und benannte 1963 eine Straße in Eberstadt, den "Kleukensweg", nach ihm.
Die Frankfurter Rundschau berichtete am 16. Juni 2018, dass die Stadt "den Nachlass von Christian Heinrich Kleukens, einem zentralen Mitglied der Künstlerkolonie Mathildenhöhe und Leiter der 1907 gegründeten Ernst Ludwig-Presse" für 600.000 Euro gekauft habe."
Der Sitz des Kleukens Verlag (Ernst Ludwig-Presse) lag in der Wilhelminenstraße 43, seinen Wohnsitz hatte er in Nieder-Ramstadt, Außerhalb des Orts 24.
Weder das Stadtlexikon [3] noch die Neue Deutsche Biographie erwähnen Kleukens Haltung zum Nationalsozialismus, erst die von Köhn [4] im Auftrag der Stadt Darmstadt vorgelegte Untersuchung über Straßennamen in Darmstadt hat nun erbracht, dass Kleukens ein aktiver Nationalsozialist war, der überdies seine aktive Rolle im und für den Nationalsozialismus verschwieg. Konsequenterweise beabsichtigte die Stadt, dem Kleukensweg im Jahr 2019 einen anderen Namen zu geben. Die Umbenennung in Elisabeth-Duncan-Weg erfolgte im Mai 2023. Auf dem Erläuterungsschild unter dem Straßenschild ist der richtige Name Elizabeth Duncan angegeben.
Mit Schreiben vom 23. Juni 2020 erhielten die Autoren von einer Darmstädter Anwaltskanzlei ein Schreiben, in dem die Anwälte im Auftrag von zwei Enkelinnen des Prof. Kleukens forderten, "die getätigten Veröffentlichungen zu diesem Thema wieder zurückzuziehen und von der Homepage zu entfernen, bzw. die Behauptung, dass Prof. Kleukens ein Nationalsozialist war, öffentlich zu widerrufen oder zumindest eine öffentliche Gegendarstellung der Enkelinnen zuzulassen". Den Enkelinnen ginge es darum, das Ansehen ihres Großvaters wieder in das richtige Bild zu rücken. Kleukens sei vom Mainzer NSDAP-Oberbürgermeister gedrängt worden, einem nationalen Verband beizutreten. Andernfalls hätte er an der "Welt-Goethe-Ausgabe", die er als sein Lebenswerk betrachtet habe, nicht weiterarbeiten können. Auch sei er lediglich aus Zwang dem "Bund der Frontsoldaten" beigetreten. Auch sei ihr Großvater automatisch ein Mitglied der SA und der NSDAP geworden. Auch sei er ehrenhalber zum SA-Sturmführer der Reserve und ehrenhalber zum SA-Obersturmführer der Reserve befördert worden. Diese Ehrungen seien ihrem Großvater, so die Enkelinnen, aufgezwungen worden, und er habe sich nur aus Furcht einer Existenzgefährdung nicht gewehrt.
Nach nochmaliger Prüfung haben die Autoren der Anwaltskanzlei am 22. Oktober 2020 mitgeteilt, dass sie keinen Anlass sehen, an ihrem Text inhaltliche Veränderungen vorzunehmen. Sie werden jedoch die Gründe der Enkelinnen erwähnen. Die Gründe für die Weigerung der Autoren, die geforderten Änderungen bzw. Streichungen vorzunehmen, sind hier zu lesen.