Er hatte am 23. August 1929 an der Universität Gießen seine medizinische Dissertation mit dem Thema "Das Lenigallol in der dermatologischen Praxis" vorgelegt.
Nach Angabe der Entnazifizierungskartei schloss sich Welcker bereits am 1. November 1929 der NSDAP an. Er hatte die niedrige Mitgliedsnummer 158 973.
Er war zunächst als Arzt am Gesundheitsamt in Mainz beschäftigt und wurde dort am 2. Dezember 1936 stellvertretender Amtsarzt. Am 7. März 1938 fand die Beförderung zu Obermedizinalrat statt.
Im Darmstädter Adressbuch von 1934 wurde er als Facharzt für Haut- und Geschlechtskrankheiten mit Praxis in der Rheinstraße 20 und Wohnung in der Karlstraße 97 geführt.
Im Adressbuch von 1937 wurde er noch als Medizinalrat in der Abteilung III der Hessischen Landesregierung unter Reichsstatthalter Jakob Sprenger geführt:
Welcker ist in einem Familiengrab auf dem Alter Darmstädter Friedhof bestattet. Der Grabstein vermerkt vor dem Todestag "gefallen".