Der Sohn eines Pfarrers besuchte von 1908 bis 1911 die Volksschule in Rüdesheim und danach das Reform-Gymnasium in Geisenheim-Rüdesheim, wo er Ostern 1921 das Abitur ablegte.

Anschließend studierte er Medizin von 1921 bis 1923 an der Hessischen Ludwigs-Universität in Gießen und im Wintersemester 1923/24 in Frankfurt, wo er am 6. November 1924 die ärztliche Vorprüfung und am 13. Januar 1930 die ärztliche Prüfung bestand. Danach war er als Medizinalpraktikant an der chirurgischen Universitätsklinik Frankfurt und der inneren Abteilung des Städtischen Krankenhauses Sandhof (heute Gelände des Universitätsklinikums) tätig.

1931 legte Wüst seine Dissertation in Frankfurt vor, deren Thema lautete "Prostatacarcinom und Prostatahypertrophie (Adenom, Hyperplasie)".

Wüst trat am 1. August 1932 der NSDAP bei und erhielt die Mitgliedsnummer 1.202.354. In der Entnazifizierungskartei ist als Adresse das Elisabethenstift in Darmstadt angegeben.