Nach dem Besuch des Gymnasiums in Bensheim studierte Buxbaum Architektur an der Technischen Hochschule in Darmstadt und arbeitete anschließend in Berlin, Nürnberg und Worms. 1904 trat Buxbaum in den Dienst der Stadt Darmstadt und wurde 1906 Leiter des Städtischen Hochbauamtes. 1909 wurde er zum Stadtbaurat gewählt.

Während seines Studiums lernte Buxbaum den späteren "Ersten Baumeister des Führers", Paul Ludwig Troost, kennen. Über eine Zeitlang hatte sich zwischen ihnen eine freundschaftliche Beziehung entwickelt.

Viele öffentliche Bauten in Darmstadt tragen Buxbaums Handschrift, wie zum Beispiel

• die Eleonorenschule, die Justus-Liebig-Schule, die Kyritzschule und die Pestalozzischule
• das Zentralbad (heute: Jugendstilbad), Umbau des Hotels Traube (abgerissen)
• das Krematorium und die Einsegnungshalle am Waldfriedhof
• den Kiosk am Kantplatz im Martinsviertel (sog. Buxbaum-Kiosk)

1918 wurde Buxbaum zum Baudezernenten ernannt, führte ab 1924 den Titel Bürgermeister und blieb dies bis 1930. Anschließend arbeitete er als freier Architekt. Buxbaum erhielt zahlreiche Ehrungen. So ernannte ihn die Technische Hochschule Darmstadt 1928 zum Ehrensenator.

Wahlplakate der Deutschen Partei [6]

1961 wurde eine Anlage an der Dieburger Straße/Rhönring in August-Buxbaum-Anlage benannt. Sie war bis 1933 nach Walther Rathenau (29.9.1867 Berlin - 24.6.1922 Berlin, ermordet), einem deutschen Außenminister, der in der Weimarer Republik von Nationalisten erschossen wurde, benannt ("Rathenau-Anlage") und hieß bis 1945 "Horst-Wessel-Anlage". Zu Ehren von Georg Fröba, einem von den Nazis 1944 hingerichteten Darmstädter Widerstandskämpfer, wurde der Park 1947 in Georg-Fröba-Anlage umbenannt, bis 1961 der Kommunist aus demöffentlichen Straßenbild gelöscht wurde und eine erneute Umbenennung erfolgte.

Buxbaum betätigte sich nach 1945 erneut politisch, besonders in der Darmstädter Kommunalpolitik. So kandidierte er 1952 auf Patz 1 der Liste der Deutschen Partei (DP) und zog als DP-Stadtverordneter ins Stadtparlament ein. Mitkandidat war Ferdinand Barth. Für die DP hatten fünf Prozent der Darmstädter Wahlberechtigten gestimmt. Die Deutsche Partei war damals ein Sammelbecken ehemaliger Nationalsozialisten. Dies wird auch deutlich in ihrer Wahlpropaganda, siehe Abbildungen.

Buxbaum war auch einer von vier Bezirksvorsitzenden der DP in Hessen.

Er ist auf dem Waldfriedhof Darmstadt bestattet.