Jung besuchte das Gymnasium in Worms und studierte danach Rechtswissenschaften in Heidelberg, München und Gießen. Er schloss sich der Burschenschaft Frankonia Heidelberg an.
Nach dem zweiten Staatsexamen arbeitete er ab 1912 als Rechtsanwalt in Worms.
Er nahm am Ersten Weltkrieg zuletzt als Batterieführer teil und wurde mit dem Eisernen Kreuz EK I und EK II sowie der hessischen Tapferkeitsmedaille ausgezeichnet.
Nach dem Krieg arbeitete er wieder als Rechtsanwalt und hatte ab 1924 erste Verbindungen zur NSDAP. Von 1926 bis 1933 war er Stadtrat in Worms.
Als Rechtsanwalt vertrat ab 1926 Mitglieder der SA und SS.
1927 schloss er sich der NSDAP-Schlägerbande SA an und verteidigte unter anderem den NSDAP Gauleiter der Pfalz Josef Bürckel. 1930 schloss er sich auch der NSDAP an und wurde Kreisleiter in Worms.
1931 wurde er Mitglied des Landtages des Volksstaates Hessen und war von 1931 bis 1933 NSDAP-Fraktionsvorsitzender.
Vom 15. März bis 13. April 1933 war er kommissarischer Oberbürgermeister der Stadt Mainz und wurde am 15. Mai 1933 zum hessischen Staatssekretär und stellvertretenden Staatsminister von Gauleiter Sprenger ernannt. Am 18./19. September 1933 erfolgte die Ernennung zum Ministerpräsidenten und Staatsminister als Nachfolger des Ministerpräsidenten Dr. Friedrich Werner. Am 1. März 1935 wurde er aus diesem Amt entlassen und zum Regierungspräsidenten und Vertreter des Reichskommissars in Saarbrücken ernannt.
Am 16. Mai 1940 wurde er als Bürgermeister der österreichischen Hauptstadt Wien eingesetzt und blieb dies bis Dezember 1943 (siehe Abbildung).
Nach 1945 wurde Jung im Lager Kornwestheim bis zum 17. Juni 1948 inhaftiert.
Im Entnazifizierungsverfahren wurde dieser hohe nationalsozialistische Funktionär als "minderbelastet" eingestuft. Ein von ihm angestrengtes Verfahren mit dem Ziel, Altersbezüge zu erhalten, gewann er vor dem Verwaltungsgericht Darmstadt ebenso, wie es ihm gelang, wieder als Rechtsanwalt und Notar zugelassen zu werden.
Die Darmstädter Adressbücher von 1934 bis 1936 verzeichneten ihn als Staatsminister, wohnend in der Kekulestraße 5.
Jung lebte nach dem Krieg als Rechtsanwalt in Scharbach bei Wald-Michelbach.